ユークリッド空間をcountableな形に分解

　ユークリッド空間R^nがあるとする。このとき、

R^nはseparableである。

ちなみに、metric space Xがseparableであるとは、Xがcountable dense subset Bを含むということ。さらに、Xの部分集合Bがdenseであるとは、topological closure(Bを含む全ての閉集合のintersection)がXに等しくなること。

□DEFINITION (Berge1997 p.93)
A fundamental family for a topological space X is a family of open sets A={A_i:i∈I} such that, given any non-empty set G there exists a subset J of I for which

　　G = ∪_{i∈J}A_i.

□THEOREM (Berge1997 p.93)
A metric space is separable if and only if it possesses a countable fundamental famility.

以上のことから、次のようなことが言える：

X⊆R^nとする。さらに、h:R^2→Rという関数があると、

　{y:sup_{x∈X}h(x,y) > b} = ∪_{i∈J}{y:sup_{x∈X_i}h(x,y) > b}.

ここで、Jはcountable set.

つまり、coutableな形に分解できるというメリットがある。テクニカルなところでこういう性質を使う場合があるかもしれない。