今、
)
が連続で、xについて厳密に凹なnumerical functionであるとする。なお、

で、S、Θはコンパクト集合とする。
このとき、次の問題を考える:
=\sup \{f(s,x;\theta)\}\;\;s.t.\;\;x\in \Gamma(s;\theta))
ここで、
)
は連続で、任意のsとθに対して空ではないコンパクトになる対応とする。
Maximum Theoremを用いれば、最適解
)
は

上の連続な関数であることがわかる。
では、次のような問題についてはどうだろうか。ここでは、最適化にあたって、measurable functionを選択するという問題を考えている:
=\sup\left\{\int_E f(\tilde{e},s,x;\theta)\mu(d\tilde{e})\right\}\;\;s.t.\;\;x\in \mathcal{M}(s;\theta))
ここで、

は確率変数で、μはそれに対応する確率測度。Eは全集合。fは

についても連続であるとする。
)
は、s,θを所与として、各

が実現したとき、制約
)
が必ず満たされるmeasurable functionの集合を現す。

については、上記の問題と同様の仮定をする。
このとき、解が一意のmeasurable functionで、かつそれが

について連続となるにはどういう仮定が必要だろうか?今このことについて、時間があるときに考えております。
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