最大値最小値の定理の拡張

　Topologistの興味をそそる定理の一つに、次のものがある：

If f is a numerical function defined and continuous on a space X, and if K is compact subset of X, then f attains the value in K. Similarly, f attains the value .

ここで"numerical function"とは、fがXから実空間への写像であることを意味する。


　この定理を、generalized numerical function に拡張することはできないだろうか。

　自分の答えは、"YES, WE CAN!"である。議論は以下のステップからなる。

1. 上の位相を定義する。
　以下の３種類の集合からなる集合族を考える：
(a) 上の開集合。
(b) とという形の区間を一つ含む上のある開集合のunion。
(c) とという形の区間を一つ含む上のある開集合のunion。

　すると、上のを含む最も小さい(から生成された)位相を定義することができる（詳しいことは省略）。

2. 位相空間上では、single-valued function f の値が+∞や-∞となる点においても連続である。
　例として、となる点における連続性について考える。位相の定義から、{-∞}の点を含む開集合は必ず[-∞,a)(for some )という区間を含む。fが-∞や+∞となる点以外では連続であることから、X上の適当な開集合が存在して、そのfによる写像（集合）が[-∞,a)に含まれることになる。

　そこで、上記の定理を次のように書き直す：

If f is a generalized numerical function defined and continuous on a space X, and if K is compact subset of X, then f attains the value in K. Similarly, f attains the value .

3. 2.より、任意のコンパクト集合K⊂Xに対し、は閉集合である。
　コンパクト集合Kは閉集合。閉集合を連続な写像で移した先の集合も閉集合だから。

4. 上のどのような点に対しても、それに収束するような上の点列が存在する。また、上の収束する点列の収束先は上に属する。

5. f は関数であるので、上の任意の点に対して、K上のある点（場合によっては複数の点）が対応する。

よって、supもinfもK上の点で達成可能。


上の議論の4.,5.あたりが遠回りな気がする（汗）