【Measure】覚書【Probability】

Measure Theoryやそれに基づくProbability Theoryについての覚書。
現在進行形で、気づいたものを随時追加していく。

Borel algebra

1. Borel algebraとはsmallest σ-algebra generated by the collection of all open setsのことで、``smallest''を使う理由は、Caratheodory Extension Theoremにあるmeasureがそのようなσ-algebra上で定義されているため。

Lebesgue measurable sets

1. Lebesgue measurable setsはBorel setsのcompletionであり、この上に定義される長さや面積、体積などの測度はLebesgue measureと呼ばれる。
2. Lebesgue measurable setsを構築するそもそもの目的は、measure-0の可測集合の部分集合（これは必ずしも可測であるとは限らない）もmeasure 0である、という直観的推論を成立させるため。

Measurable functions

1. Borel measurable functionsのcompositionはBorel measurableであるが、Lebesgue measurable functionsのcompositionがLebesgue mearableであるとは限らない。（これはmearable functionの定義による。）⇒ユークリッド空間上に定義された関数を扱う場合、σ-algebraとしてはLebesgue setsよりもBorel setsの方が扱いやすい。
2. Borel measurable functionsはLebesgue measruableでもある。（これはLebesgue setsがBorel setsのcompletionであることから。）⇒Borel measurable functionsの積分をとるとき測度として、Borel measureとLebesgue measureの両方を使える。